Координатная прямая


Координатная прямая.

Возьмем обычную прямую. Назовем ее прямая x (рис.1). Выберем на этой прямой точку отсчета O, а также стрелкой укажем положительное направление этой прямой (рис. 2). Таким образом, справа от точки O у нас будут положительные числа, а слева – отрицательные. Выберем масштаб, то есть размер отрезка прямой, равный единице. У нас получилась координатная прямая (рис. 3). Каждому числу соответствует определенная единственная точка на этой прямой. Причем это число называют координатой этой точки. Поэтому прямая и называется координатной. А точка отсчета O называется началом координат.

Прямая X

Прямая X с точкой отсчета

Координатная прямая X

К примеру, на рис. 4 точка B находится на расстоянии 2 правее начала координат. Точка D находится на расстоянии 4 левее начала координат. Соответственно точка B имеет координату 2, а точка D координату -4. Сама точка O, будучи точкой отсчета, имеет координату 0 (нуль). Записывается это обычно так: O(0), B(2), D(-4). А чтобы постоянно не говорить «точка D с координатой такой-то», говорят проще: «точка 0, точка 2, точка -4». А саму точку при этом достаточно обозначить ее координатой (рис. 5).

Точки на координатной прямой


Координаты на координатной прямой

Зная координаты двух точек координатной прямой, мы всегда можем вычислить расстояние между ними. Допустим, у нас две точки A и B с координатами a и b соответственно. Тогда расстояние между ними будет |a - b|. Запись |a - b| читается как «a минус b по модулю» или «модуль разности чисел a и b».


Что такое модуль?

Алгебраически модуль числа x – это неотрицательное число. Обозначается как |x|. Причем если x > 0, то |x| = x. Если x < 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Геометрически модуль числа x – это расстояние между точкой и началом координат. А если есть две точки с координатами x1 и x2, то |x1 - x2| - это расстояние между этими точками.

Модуль также называют абсолютной величиной.


О чем еще мы можем сказать, когда речь идет о координатной прямой? Конечно о числовых промежутках.


Виды числовых промежутков.

Открытый луч.
Допустим у нас два числа a и b. Причем b > a (b больше a). На координатной прямой это означает, что точка b находится правее точки a. Заменим в нашем неравенстве b на переменную x. То есть x > a. Тогда x – это все числа, которые больше числа a. На координатной прямой это соответственно все точки правее точки a. Эта часть линии заштрихована (рис. 6). Такое множество точек называют открытым лучом, а данный числовой промежуток обозначают (a; +∞), где знак +∞ читается как «плюс бесконечность». Обратите внимание, что сама точка a не входит в данный промежуток и обозначается светлым кружком.

Открытый луч

Замкнутый луч.
Рассмотрим также случай, когда x ≥ a. Тогда x – это все числа, которые больше или равны a.  На координатной прямой это все точки правее а, а также сама точка a (на рис. 7 точка a уже обозначается темным кружком). Такое множество точек называют замкнутым лучом (или просто лучом), а данный числовой промежуток обозначают [a; +∞). Обратите внимание, что мы использовали квадратную скобку, что означает, что a принадлежит данному промежутку.

Замкнутый луч

Интервал.
Теперь возьмем двойное строгое неравенство a < x < b. Здесь x - это все числа, которые больше a,  а также меньше b. На координатной прямой это все точки между точками a и b (рис. 8).  Такое множество точек называют интервалом, а данный числовой промежуток обозначают (a; b).

Интервал

Полуинтервал.
Немного видоизменим наше неравенство a ≤ x < b. Здесь x - это все числа, которые больше или равны a,  а также меньше b. На координатной прямой это все точки между точками a и b (рис. 9) а также еще точка a.  Такое множество точек называют полуинтервалом, а данный числовой промежуток обозначают [a; b).

Полуинтервал

Отрезок.
Наконец возьмем двойное нестрогое неравенство a ≤ x ≤ b. Здесь x - это все числа, которые больше или равны a,  а также меньше или равны b. На координатной прямой это все точки между точками a и b (рис. 10), а также сами точки a и b.  Такое множество точек называют отрезком, а данный числовой промежуток обозначают [a; b].

Отрезок


Координатную прямую также называют координатной осью. Или просто осью x.
Дата публикации:






Теги: :: :: :: ::


Следующие учебники и книги:
Предыдущие статьи:


 


 


Книги, учебники, обучение по разделам




Не нашёл? Найди:





2016-12-07 23:00:26