Шедевры школьной математики, Задачи с решениями, Книга 2, Кушнир И., 1995

Шедевры школьной математики, Задачи с решениями, Книга 2, Кушнир И., 1995.

Книга написана Заслуженным учителем Украины, лауреатом фонда Сороса. В двух томах собраны более тысячи задач с решениями золотого фонда школьной и конкурсной математики (алгебра, тригонометрия, начала математического анализа, геометрия). Для учащихся общеобразовательных школ, колледжей, гимназий, классов с углубленным изучением математики, абитуриентов, студентов университетов, преподавателей.

Шедевры школьной математики, Задачи с решениями, Книга 2, Кушнир И., 1995


Примеры.
В равнобедренном треугольнике с основанием а и боковой стороной b угол при вершине равен 20°. Доказать, что a3 + b3 = Заb2.
Доказательство.
Так как а = 2b sin 10° то доказываемое соотношение равносильно равенству 1+8 sin310° = 6 sin 10°, или sin 30° = 3 sin 10° - 4 sin310°
Последнее равенство выполнено в силу формулы sin За = 3 sin а - 4 sin3 а.

Вычислить sin 18°
Решение.
Имеем sin 36° = cos 54°, или 2 sin 18° • cos 18° = 4 cos318° - 3 cos 18°.
Поскольку cos3 18° = 1 - sin3 18°, то 4 sin218° + 2 sin 18° - 1 = 0, откуда sin 18° = (-1± √5)/4.
Но sin 18° > 0, поэтому sin 18° = (√5-1)/4.

Найти множество всех пар чисел (a, b), для каждой из которых при всех значениях х справедливо равенство a (cos х - 1) 4- b2 = cos (ах + b2) - 1
Решение.
Поскольку данное равенство справедливо при произвольном х, то частично оно верно при х =π и х = 2п. Это значит, что числа а и b удовлетворяют равенству -2а + b2 = cos (пa + b2) - 1,    
b2 = cos (2па + b2) - 1.    
Из равенства (2), поскольку cos (2па + b2) ≤ 1 следует, что b2 ≤ 0. Этому условию удовлетворяет только b = 0. Но тоща cos2пa= 1, т.е. а — целое число. Равенство (1) теперь имеет вид: 1 - 2а = cos па.
Поскольку 1 ≤ cos пa ≤ 1, то -1≤1 - 2а ≤1.
Но 0 ≤ а ≤ 1. В этом промежутке имеем только целые числа а = 0; а - 1. Значит, условие задачи могут удовлетворять только такие пары чисел: а = 0, b = 0 и а = 1, b = 0. Если а - 0, b = 0, то данное в условии равенство будет выполняться при всех х.
При а = 1, b = 0 — данное в условии равенство также выполняется при всех х: итак, обе пары чисел а - 0, b = 0 и а = 1, b = 0 удовлетворяют условию задачи.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. Тригонометрия
1. Преобразование тригонометрических выражений
2. Условные равенства
3. Тригонометрические уравнения
4. Решение тригонометрических систем
5. Решение тригонометрических неравенств
6. Доказательство тригонометрических неравенств
7. Обратные тригонометрические функции
8. Параметр в тригонометрических уравнениях и неравенствах
9. Нахождение тригонометрических сумм
10. Тригонометрия помогает алгебре
ГЛАВА II. Элементы математического анализа
11. Производная и ее применение
12. Касательная к кривой
13. Задачи с параметром
ГЛАВА III. Избранные задачи
14. Об одном замечательном тождестве
15. Уравнения и обратные функции
16. Решение уравнений о целых числах
17. Монотонные функции решают задачи
18. Метод неопределенных коэффициентов
19. О некоторых теоремах и задачах Леонарда Эйлера
20. Что больше?
21. Два неизвестных в одном условии
22. Периодические функции
ГЛАВА IV. Планиметрия
23. Задачи-матрешки
24. Урок одной задачи
25. Планиметрические задачи последних десятилетий
ГЛАВА V. Стереометрия
26. Избранные задачи
ГЛАВА VI. Геометрия для старшеклассников
27. Формулы в геометрических задачах
28. Задачи с девятью точками без окружности Эйлера
29. Биссектральный треугольник
30. Об одной геометрической проблеме.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Шедевры школьной математики, Задачи с решениями, Книга 2, Кушнир И., 1995 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу



Скачать - pdf - Яндекс.Диск.
Дата публикации:





Теги: :: ::


Следующие учебники и книги:
Предыдущие статьи:


 


 

Книги, учебники, обучение по разделам




Не нашёл? Найди:





2019-02-23 23:43:00