Компактный курс математического анализа, Часть 1, Функции одной переменной, Шведов И.А., 2001


Компактный курс математического анализа, Часть 1, Функции одной переменной, Шведов И.А., 2001.

  Учебное пособие предназначено студентам 1-го курса математических факультетов университетов, а также всем желающим углубить свои познания в математическом анализе и несколько расширить свой кругозор.

Компактный курс математического анализа, Часть 1, Функции одной переменной, Шведов И.А., 2001

Декарт, Кеплер, Гук, Ньютон и закон всемирного тяготения.
В те годы, когда Ньютон разрабатывал дифференциальное исчисление, Роберт Гук в одной из бесед с Ньютоном изложил ему следующую проблему: многочисленные опыты говорят о том, что сила притяжения тела А телом В пропорциональна произведению масс этих тел, направлена от А к В, но никакие лабораторные ухищрения не дают ответа о математической зависимости этой силы от расстояния между телами. Однако думается, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между А и В.

К тому времени наука была обогащена методом координат Декарта и эмпирическими законами Кеплера движения планет. Кроме того, сам Ньютон установил основные принципы механики и дифференциального исчисления.
Первые два закона Кеплера. Орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого расположено Солнце, а секториальная скорость движения планеты постоянна.

Закон движения Ньютона. Пусть выбрана какая-нибудь система измерения физических величин и в рассматриваемой области пространства введена прямоугольная система координат. Тогда, если в этой области движется материальная точка z массы m ив каждый момент времени t на нес действует лишь одна сила w(t): то w = mz".

Оглавление
Предисловие
Глава 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§0.0. О терминологии и обозначениях
Высказывания, аксиомы, теоремы. Стандартные обозначения. Постоянные и переменные. Способы задания множеств. Принцип совпадения множеств.
§0.1. Числовая прямая
Свойства системы вещественных чисел. Расширенная числовая прямая; отношение порядка; арифметические операции; модуль и знак числа. Промежутки. Ограниченные подмножества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Аксиома граней. Индуктивное свойство натурального ряда. Принцип Архимеда. Принцип математической индукции; биномиальные коэффициенты. Теорема о пересекающихся отрезках; принцип вложенных отрезков. Диаметр числового множества. Окрестности точек расширенной числовой прямой. Свойства системы окрестностей.
§0.2. Отображения
Понятие отображения; бытующая терминология. Область задания отображения; пространство значений; образы и прообразы точек и множеств; график отображения. Сужение отображений. Постоянные, инъективные, сюръективные и биективные отображения. Композиция отображений. Обратимые отображения; критерий обратимости.
Глава 1.ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§1.1. Предел последовательности
Топологическое определение предела последовательности. Единственность предела. Предел монотонной последовательности. Лемма о пределе промежуточной последовательности. Асимптотическая истинность высказываний. Теорема о неравенстве пределов (ТНП). Арифметический критерий сходимости. (АКС) Теоремы о сумме пределов, о произведении пределов и об обратной величине предела. Теорема о пределе подпоследовательности. Теорема Вейерштрасса о частичных пределах; верхний и нижний пределы вещественной последовательности. Критерий Коши существования конечного предела; последовательности Коши.
Приложение
Вещественные числа по Вейерштрассу.
§1.2. Суммирование бесконечных числовых рядов
Примеры появления сумм бесконечных числовых рядов. Основные вопросы. Популярные разложения в степенные ряды (формулировки). Об употреблении термина "ряд". Частичные суммы ряда. Сумма ряда. Суммируемые (сходящиеся) ряды; необходимое условие суммируемости. Сумма геометрической прогрессии. Условие суммируемости ряда 1/ns. Критерий Коши суммируемости ряда. Принцип сравнения. Абсолютно суммируемые ряды. Признаки Коши и Даламбера суммируемости ряда. Неравенство Абеля; признак Абеля-Дирихле; типичные примеры. Теорема Мертенса о произведении рядов.
Приложения
Область суммируемости экспоненциального ряда; экспонента; ее свойства. Иррациональность числа е. Трансцендентность числа Лиувиля. Сходимость последовательностей и суммирование рядов в поле комплексных чисел.
Глава 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
§2.1. Свойства операции lim
Точки прикосновения подмножеств расширенной числовой прямой. Асимптотическая истинность высказываний. Предел функции по подмножеству. Единственность предела. Пределы монотонных функций. Лемма о пределе промежуточной функции (ЛППФ). Теорема о неравенстве пределов (ТНП). Арифметический критерий сходимости (АКС). Теоремы о сумме пределов, о произведении пределов и об обратной величине предела. Теорема о пределе композиции. Критерий сходимости Гейне.
§2.2. Асимптотические отношения сравнения
Свойства асимптотических сравнений; связь с операцией предела.
Глава 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§3.1. Непрерывность функции в точке
Топологический критерий непрерывности. Теорема о композиции непрерывных функций. Лемма о непрерывности промежуточной функции. Операции над непрерывными функциями. Лемма об устойчивости строгих неравенств. Локальный характер свойства непрерывности. Лемма о пределе огибающих.
§3.2. Глобальная непрерывность
Теорема Вейерштрасса об экстремумах. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях. Признак Больцано строгой монотонности. Теорема об обратной функции.
§3.3. Основные элементарные функции
Функции xn и n/x. Экспонента и натуральный логарифм. Теорема-определение показательной функции; loga Функции sin и arcsin; cos и arccos; tan и arctan.
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§4.1. Производная и дифференциал
Дифференцируемые функции; производная. Односторонние производные. Теорема о лейбницевом разложении; дифференциал. Кинематическая и геометрическая интерпретации производной и дифференциала; касательная к графику дифференцируемой функции. Непрерывность дифференцируемых функций. Правила дифференцирования. Локальный характер дифференциальных понятий. Лемма о производной промежуточной функции. Лемма о знаке производной. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума). Теоремы Ролля и Лагранжа о среднем. Теорема о приращениях.
Приложения
Признаки возрастания и убывания. Достаточные признаки локального экстремума. Выпуклые множества и функции; барицентрический критерий выпуклости; неравенство Иенсена. Дифференциальные признаки выпуклости; неравенство Юнга. Правило Лопиталя.
§4.2. Многократная дифференцируемость
Высшие производные. Правила многократного дифференцирования суммы и произведения. Признаки многократной дифференцируемости композиции и обратного отображения.
§4.3. Локальная аппроксимация функций полиномами
Лемма о степенной оценке приращения. Теорема о разложении Тейлора. Лагранжева оценка остатка разложения Тейлора. Порядок касания функций в точке. Операции над полиномиальными разложениями.
Приложения
Исследование локального поведения функций посредством полиномиальных разложений. Популярные разложения в степенные ряды; оценки остатков разложений. Формула Эйлера. Метод Мэчина "вычисления числа" п. Интерполяция по Лагранжу - Эрмиту. Обобщенная теорема Ролля. Оценка дефекта интерполяции. Теорема об интерполяции по Лагранжу - Эрмиту.
§4.4. Некоторые обобщения
Глава 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Введение. Метод Ньютона вычисления площадей
§5.1. Первообразная
Первообразная (неопределенный интеграл). Лемма о первообразных. Примеры и замечания. Правила неопределенного интегрирования. Разложение рациональной функции на простые дроби; первообразные рациональных функций. Обобщенная первообразная.
§5.2. Интеграл
Интегрируемые функции (по Ньютону); интеграл: формула Ньютона-Лейбница (Н-Л). Геометрическая интерпретация интеграла, Элементарные свойства интеграла, Интеграл как функция верхнего предела. Формула интегрирования по частям (ФИЧ). Формула замены переменной.
Приложения
Модернизированный принцип Кавальери. Интегральное представление остатка разложения Тейлора. Ньютоново разложение бинома. Иррациональность чисел п и еq.
§5.3. Признаки интегрируемости
В основном непрерывные функции. Принцип сравнения. Признак существования обобщенной первообразной. Лемма о сходящемся интеграле. Критерий Коши сходимости интеграла. Асимптотический признак Вейерштрасса. Неравенство Абеля; признак интегрируемости Абеля-Дирихле; типичные примеры.
Приложения
Гамма-функция Эйлера; ее основное свойство; формула Стерлинга Формула прямоугольников; интеграл Римана. Формула Кепплера-Симпсона. Теорема о единственности интеграла,
Глава 6. ВЕКТОР-ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Евклидово пространство Rm. Компоненты (координаты) вектор-функции; геометрическая и кинематическая терминологии; траектория. Распространение понятий и теорем предыдущих глав.
Координатные критерии сходимости, непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости. Теорема Коши о среднем; геометрическая интерпретация. Лемма о спуске; теорема о приращениях.
Приложения
Длина пути. Формулы для секториальной скорости. Формулы для площади криволинейного сектора. Работа силового векторного поля. Законы Кеплера и закон Ньютона всемирного тяготения.
Дополнения
Счетные множества. Расширение теории интеграла Ньютона.
Список имен
Греческий алфавит
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате и читать:

Скачать книгу Компактный курс математического анализа, Часть 1, Функции одной переменной, Шведов И.А., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать




Скачать книгу Компактный курс математического анализа, Часть 1, Функции одной переменной, Шведов И.А., 2001 - pdf - depositfiles.

Скачать книгу Компактный курс математического анализа, Часть 1, Функции одной переменной, Шведов И.А., 2001 - pdf - Яндекс.Диск.
Дата публикации:





Теги: :: :: ::


Следующие учебники и книги:
Предыдущие статьи:


 


 


Книги, учебники, обучение по разделам




Не нашёл? Найди:





2016-12-05 22:56:57